Sessão de Problemas

• Ugo BruzzoUFMG
• Rodrigo GondimUFRPE

As álgebras de Cox-Gorenstein são álgebras artinianas graduadas por um grupo abeliano finitamente gerado, que aparecem naturalmente no estudo dos anéis de Cox de variedades tóricas. O texto recapitula a dualidade de Macaulay–Matlis no contexto tórico, a conjectura de codimensão um de Cattani–Cox–Dickenstein e as propriedades de Lefschetz tóricas (fraca e forte), chegando a um critério hessiano generalizado.

1. Álgebras de Cox-Gorenstein monomiais: uma álgebra $S/(x_1^{a_1},\dots,x_n^{a_n})$ com $G$-graduação tem TSLP/TWLP?
2. Cox-Gorenstein em codimensão dois: o que sobra do caso padrão, em que a SLP sempre vale?
3. Um critério jacobiano superior e tipos de Jordan no contexto $G$-graduado.
4. Artinianização no grau crítico: a truncagem $B$ de $A = S/(f_0,\dots,f_n)$ é Cox-Gorenstein?

• Thiago HollebenMax Planck Institute, Alemanha

O ponto de partida é uma pergunta de Uwe Nagel, de 2023: qual a probabilidade de um ideal monomial falhar a WLP? Para álgebras do tipo $A(G,d) = k[x_1,\dots,x_n]/(I(G) + (x_1^d,\dots,x_n^d))$, em que $I(G)$ é o ideal de arestas de um grafo $G$, falta um critério de falha suficientemente geral para que se possa enunciar resultados probabilísticos. Os polinômios de Specht aparecem como ferramenta esperada.

1. Dado um grafo $G$, determinar critérios para a falha da WLP de $A(G,d)$ a partir dos polinômios de matching e de independência de $G$ e do seu complemento.

• Giovanna IlardiUniversità di Napoli Federico II, Itália
• Abbas Nasrollah NejadUNIFESP

Três problemas que conectam propriedades de Lefschetz, sistemas inversos de Macaulay, hessianas superiores e a geometria das variedades de Veronese. O primeiro é algébrico, o segundo pede uma interpretação geométrica do mesmo fenômeno, e o terceiro pergunta quanto dessa imagem sobrevive no caso singular.

1. Hessianas superiores de formas associadas: para a forma associada $A_{\mathbf f}$ de uma interseção completa artiniana, vale $\mathrm{hess}^{(k)}_{A_{\mathbf f}} \not\equiv 0$ para todo $1 \le k < T/2$?
2. Espaços osculadores e mapas de Lefschetz: entender o espaço de excesso $E_k(\ell)$ e decidir se a estrutura de interseção completa força $E_k(\ell) = 0$.
3. O caso nodal $r < n$: descrever os pontos-base do mapa racional $\phi_f : \mathbb{P}^{n-r-1} \dashrightarrow \mathbb{P}^{n-r-1}$.

• Marcos JardimUNICAMP

Sessão de problemas bônus sobre teoria de linkage em fibrados vetoriais. Durante o evento, Marcos Jardim também apresenta a palestra Bourbaki schemes of three generated ideals, na quarta-feira pela manhã.