Programação

Buscamos uma suavização da variedade de Stanley-Reisner associada a uma triangulação da 3-esfera descoberta por Grünbaum e Sreedharan em 1967. Essa variedade é uma união altamente singular de subespaços lineares em $\mathbb{P}^7$, e não se sabe se ela admite uma deformação cuja fibra geral seja suave (isto é, um smoothing ou suavização).

Esse problema geométrico traduz-se num problema de álgebra comutativa computacionalmente desafiador: a deformação desejada corresponde a um módulo plano construído a partir do ideal monomial original, acrescentando aos geradores novos monômios controlados por uma enorme quantidade de parâmetros.

Dois cálculos independentes indicam que o espaço de deformações de primeira ordem tem dimensão 53. Também obtivemos, de maneira ainda preliminar, dimensão 12 para o espaço de obstruções, além de condições quadráticas que controlam a extensão de deformações à segunda ordem.

Outro fato interessante é que a tabela de Betti dessa variedade coincide com a de outra variedade suave conhecida, mas ainda não se sabe se uma pode ser deformada na outra. Já foram encontradas algumas famílias planas, mas nenhuma com fibras gerais suaves.

The goal of this work is to compute the generic Jordan type of the full Nagata algebra $A_{F_{a,d}}$ with Macaulay dual generator $F_{a,d} = X_0^{a}U^{d} + X_1^{a}U^{d-1}V + \cdots + X_{d-1}^{a}UV^{d-1} + X_d^{a}V^{d}$, for $a \ge d \ge 2$.

As an application, we show that $A_{F_{a,d}}$ satisfies both the weak and strong Lefschetz properties for $a \ge d \ge 2$. This is joint work with Janaíne Martins and Rosa Maria Miró-Roig.

Se $Z$ é um 0-esquema composto por $r$ pontos em $\mathbb{P}^2$, dizemos que $Z$ admite uma curva inesperada de grau $j+1$ se existe um inteiro $j>0$ tal que, para um ponto geral $P$, $jP$ falha em impor o número esperado de condições sobre o sistema linear de curvas de grau $j+1$ contendo $Z$. Por outro lado, dizemos que uma variedade projetiva $X$ possui defeito osculador de ordem $s$ em $P$ se a dimensão do espaço osculador projetivo de ordem $s$ é menor do que a dimensão esperada.

Ambas as definições relacionam dimensão esperada e dimensão efetiva, o que sugere uma relação entre a teoria das curvas e hipersuperfícies inesperadas e as variedades com defeito osculador — relação estudada por Justyna Szpond em "Unexpected curves and Togliatti-type surfaces", trabalho que estudamos e apresentaremos neste pôster.

Estudamos essa relação no 0-esquema $Z$ formado pelos nove pontos em $\mathbb{P}^2$ duais às retas do arranjo $B_3$, e na superfície $X_B$ identificada como o fecho da imagem do mapa racional associado ao sistema linear das quárticas contendo $Z$. Mostraremos que existe uma bijeção entre as curvas inesperadas de grau 4 admitidas por $Z$ e os espaços osculadores de ordem 2 de $X_B$ em seus pontos suaves.

The question "Does every complete intersection Artinian algebra have the Strong Lefschetz Property? Does it at least have the Weak Lefschetz Property?" is considered the 'Holy Grail' of this line of research. In this poster, we explain the proof of this result for Artinian algebras of codimension 3, obtained by T. Harima, J. C. Migliore, U. Nagel, and J. Watanabe.

We use techniques involving rank 2 vector bundles on $\mathbb{P}^2$ and the Grauert–Mülich theorem to show that every complete intersection Artinian algebra of codimension 3 has the Weak Lefschetz Property.

Estudaremos o problema de Waring para polinômios homogêneos, relacionando o posto de Waring, o posto de cactus e o posto borda de uma forma. Analisamos as propriedades de Lefschetz da álgebra associada e, passando pelo estudo da matriz Hessiana, obtemos uma família de formas selvagens, isto é, formas cujo posto de cactus é maior do que o posto borda.

O resultado principal do trabalho é: seja $f \in R_d$ uma forma homogênea $k$-concisa com $2k \le d$, e sejam $l, s$ inteiros tais que $l \le k \le s$ e $s+l \le d$. Sejam $I = \mathrm{Ann}(f)$, $A = Q/I$, e suponha que $\mathrm{Hilb}(A)$ é unimodal. Suponha que $\mathrm{Hess}^{(l,s)}$ é degenerado, ou equivalentemente, para $L \in A_1$ genérico o mapa $\bullet L : A_l \longrightarrow A_{d-s}$ não é injetivo. Então $cr(f) > \binom{n+k}{k}$. Em particular, se $\underline{rk}(f) \le h_k$, então $f$ é selvagem.

Considerando $X$ uma variedade projetiva suave e $D$ um divisor de Cartier efetivo com cruzamentos normais simples, definimos o feixe de diferenciais logarítmicas $\Omega^1_X(\log D)$ como o feixe de 1-formas diferenciais em $X$ com polos logarítmicos ao longo de $D$. O principal objeto de interesse neste trabalho é o feixe tangente logarítmico associado a $D$, denotado por $T_X(-\log D)$, definido como o dual do feixe de diferenciais logarítmicas.

O estudo de feixes logarítmicos remonta à segunda metade do século XX, tendo como precursor o matemático belga Pierre Deligne, em trabalhos da década de 1970. Na década de 1980 o conceito foi generalizado por Kyoji Saito, estendendo formas e campos vetoriais logarítmicos a divisores singulares e introduzindo o feixe tangente logarítmico abordado neste trabalho.

Apesar de termos uma teoria bem estabelecida em ambientes suaves, a teoria de estruturas logarítmicas em espaços ambientes com singularidades ainda não está bem desenvolvida. Neste trabalho abordamos o comportamento do feixe tangente logarítmico em um arranjo de retas, buscando compreender como essas estruturas se comportam em ambientes singulares.